Dirihleov princip
Zadaci za vežbanje
1. Dato je 1999 uzastopnih prirodnih brojeva. Dokazati da je bar 1000 datih brojeva iste parnosti.
2. Među 100 proizvoljnih uzastopnih prirodnih brojeva postoji bar 34 broja koja pri deljenu sa 3 imaju isti ostatak.
3. Dato je 999 proizvoljnih uzastopnih prostih brojeva. Dokazati da se bar 250 datih prostih brojeva završava istom cifrom. Da li tvrđenje važi za 998 prostih brojeva?
4. Dokazati da se od bilo kojih uzastopnih 6 celih brojeva mogu izabrati dva čija je razlika deljiva sa 5.
5. Stranice i visine trougla ABC na proizvoljan način obojene su plavom ili crvenom bojom. Dokazati da se na tako dobijenoj slici uvek može uočiti trougao čije su sve stranice iste boje.
6. Svaka od stranica i dijagonala konveksnog šestougla na proizvoljan način je obojena plavom ili crvenom bojom. Dokazati da postoji trougao čija su temena temena šestougla i čije su sve stranice iste boje.
7. U kutiji se nalazi 10 belih i 7 crvenih kuglice. Koliko najmanje kuglica treba uzeti iz kutije (bez gledanja), da bi među njima sigurno bile 3 crvene kuglice ?
8. U vreći se nalazi 70 loptica raznih boja: po 20 crvenih, plavih i žutih, dok su ostale crne. Koliko najmanje loptica treba uzeti slučajnim izvlačenjem iz kutije da bi među njima bilo ne manje od 10 loptica iste boje?
9. U odeljenju ima 32 učenika. Da li se može tvrditi da u odeljenju sigurno postoje bar dva učenika čija prezimena počinju istim slovom?
10. Ukoliko u školi ima 735 učenika, da li se može sa sigurnošću tvrditi da bar tri učenika dele datum rođenja?
11. Dokaži da među 100 prirodnih brojeva postoji bar 34 broja koja pri deljenju sa 3 daju isti ostatak.
12. U kutiji se nalazi 12 belih i 9 plavih kuglica. Koliko najmanje kuglica treba uzeti iz kutije (bez gledanja), da bi među njima sigurno bile 3 kuglice plave boje?
13. U vreći se nalazi 70 loptica raznih boja: po 20 crvenih, plavih i zelenih, dok su ostale crne. Koliko najmanje loptica treba uzeti slučajnim izvlačenjem iz kutije da bi među njima bilo ne manje od 10 loptica iste boje?