Broj dijagonala mnogougla
Obrada
Broj dijagonala mnogougla se može izračunati koristeći sledeću formulu:
d = (n-3) · n / 2
gdje je n broj temena mnogougla.
Ova formula se može razumjeti na sledeći način:
Za svako teme mnogougla postoji n-1 linija koja ga povezuje sa svakim drugim temenom. Posto ima dva susedna temana, n-3 su zapravo dijagonalne linije, a ove dve koja ga povezuju sa susednim temenima su stranice mnogougla. Pošto imamo n temena i iz svakog kreće n-3 dijagonalnih linija, onda imamo n · (n-3) dijagonalnih linija.
Međutim, ako posmatramo recimo dijagonalnu liniju AC, u ovoj računici imamo je 2 puta. Jednom kad ide iz temana A, linija AC i jednom kad ide iz temena C, liniju CA. Zapravo je ovo ista dijagonalna linija. Znači, svaka dijagonala se računa dva puta, pa zato da bi izračunali tačan broj dijagonala moramo proizvod n i n-3 podeliti sa 2.
Primer
Četvorougao ima 2 dijagonale što dobijamo iz obrasca:
4·1/2 = 2
Petougao ima 5 dijagonala što dobijamo iz obrasca:
5·2/2 = 5
Zadaci za vežbanje
1. Nacrtaj sedmougao, osmougao i četvorougao i povuci dijagonale iz jednog njihovog temena. Koliko je povučeno dijagonala iz jednog temena datih mnogouglova?
2. Naći broj dijagonala povučenih iz jednog temena ako je broj stranica mnogougla 11.
3. Naći broj dijagonala povučenih iz jednog temena ako je broj stranica mnogougla 23.
4. Ako je broj dijagonala povučenih iz jednog temena mnogougla 12, naći broj stranica mnogougla.
5. Ako se broj stranica mnogougla poveća za 3, a broj dijagonala poveća za 24, o kom
mnogouglu je reč?
6. Ako se broj stranica mnogougla smanji za 3, a broj dijagonala smanji za 21, o kom mnogouglu je reč?