Zadaci

Ovdje ćemo se malo baviti mućkanjem glavom i zato neka svi koji od toga osjećaju mučninu hitno napuste ovo mjesto i prebace se na neke lakše zadatke,na primjer PPC.Zadatke ćemo podijeliti u 3 grupe: A-lakši,B-srednji i C-teži ali svakome prepuštamo da ih razvrsta prema vlastitoj individualnoj ocjeni.Dakle lakši bi trebali biti na razini osnovne škole,srednji srednje,a teži fakulteta.Svrha nam nije postići cilj koji predstavlja rješenje, nego pronaći put do njega,što bi značilo da pokušamo naučiti misliti.Taj postupak možemo od milja nazvati matematička prostitucija i to iz dva razloga: što podsjeća na supstituciju a izvedena je od korjena prost jer ga nastojimo uprostiti i zato što omogućava da se na taj način svatko može baviti matematikom.

Objavljeno u Nekategorizirano | 1 Komentar

f.2A – udar asteroida

Koliko bi puta veću energiju od eksplozije tone TNT-a oslobodio udar asteroida od leda u obliku kocke,stranice jednog kilometra,kad bi ušao u atmosferu brzinom od 30 km/s?Specifična gustoća leda je 916,7 kg/m3,a energija eksplozije TNT 4,23kJ/g.
Rješenje bi trebalo izgledat nekako ovako: masa asteroida je specifična težina puta volumen ili m = 916,7 kg/m3*10^9 = 9,16*10^11 kg jer km3 ima miljardu m3. Formula za kinetičku energiju je E = mv^2/2 pa je E = 4,58 *10^11*(3*3*10^8) što daje 41,25 *10^19 ili 412,5*10^18. Kako tona TNT-a daje energiju od 4,23kJ/g *10^6 = 4,230 GJ/T, a 412,5*10^18 J = 412,5* 10^9 GJ onda bi taj asteroid imao energiju kao 412,5/4,23 *10^9 ili 97 miljardi tona TNT-a.
A sada je prevruće za zadatke pa ću i ja otići na odmor kao što ste vi otišli već odavno.

Objavljeno u lakši | Ostavi komentar

m.4A – kocka u kugli

Izgleda da nitko nije rješavao prošli zadatak pa ću ga ostaviti neriješenog i dati jedan lakši.
Dali je teža šuplja željezna kugla debljine plašta pola centimetra ili aluminijska kocka stranice 10 cm koja je u nju upisana? Specifična težina aluminija je 2,7,a željeza 7,874 gr/cm.

Trebamo usporediti mase aluminijske kocke koja isnosi: m = V*q = a*a*a *2,7 = 2700 gr, gdje je q specifična težina aluminija =2,7 gr/cm i masu šuplje kugle.Nju ćemo dobiti kao razliku masa dviju kugli od kojih je u manju upisana kocka a veća ima radijus duži za pola centimetra.Omjer stranice kocke i radijusa manje kugle je: 2r^2=2a^2=> r=a/2 * korjen iz 2 pa je r =7,07.Volumen kugle je 4/3r^3*Pi što iznosi 1480,96 i pomnožen sa specifičnom težinom željeza od 7,874 daje masu od 11661,08 gr.Volumen veće kugle iznosi 4/3R^3*Pi=4/3*(7,57^3)Pi=1817,09 i pomnožen sa q daje 14307,76 gr.Kada to odbijemo od mase manje kugle dobijamo težinu šuplje kugle od 2646,68 gr.Dakle kocka je teža ali samo samo za 53,3 grama.

Objavljeno u lakši | Ostavi komentar

m.3B – 12 kuglica

Imamo 12 kuglica od kojih je jedna različite težine,odnosno teža ili lakša.Pomoću apotekaske vage,koja pokazuje samo ravnotežu,treba iz tri mjerenja odrediti koja je to kuglica.

Objavljeno u srednji | Ostavi komentar

f.1B – Ahil i kornjača

Ovdje sam želio napisati zadatak o Ahilu i kornjači ali sam naišao na ovaj blog gdje je sve lijepo postavljeno i djelomično riješeno pa bolje da to pogledate tamo.Jedino što nedostaje je odgovor na pitanje: zašto po drugoj verziji rješenja Ahil nikada ne stigne kornjaču.S obzirom da tamo ima više pokušaja odgovora ali nijedan nije točan, ostaviti ću vam neko vrijeme da ga pokušate dati.

Dakle da ponovimo:Ahil trči brzinom od 9,1m/s za kornjačom koja ide 0.1m/s ali ima 90 metara prednosti,pa će Ahil za 10 sekundi preći 91 metar a kornjača 1, a sa onih 90 je to 91,odnosno Ahil će je stići za 10 sekundi.
Međutim da bi Ahil stigao kornjaču, najprije mora doći do točke gdje je kornjača bila u trenutku kad je Ahil krenuo – nazovimo tu točku K1. Ahil je brzonog, pa će za kratko vrijeme prijeći tu udaljenost. No, u međuvremenu se kornjača pomaknula. Kornjača je spora pa nije mogla otići jako daleko – nazovimo tu točku K2. U svakom slučaju, Ahil sada (da bi stigao kornjaču) mora doći do točke K2. No, dok Ahil dođe do točke K2, kornjača se pomaknula do neke točke K3, itd. Ahil svaki put (prije nego sustigne kornjaču) mora doći do mjesta gdje je kornjača prethodno bila, a kornjača će se svaki put u međuvremenu pomaknuti. Stoga Ahil nikad neće stići kornjaču.
Rješenje je u tome što smo se mi u ovoj konstrukciji ograničili na promatranje jednog reda koji konvergira.Dijeljenjem na sve manje dijelove ovog puta i vremena stječe se utisak da se pravci koji pokazuju putanje nikada ne sijeku kao na slici:

Screenshot_2

Matematički dokaz da ipak dolazimo do konačnog broja,odnosno njihovog susreta, je napravio još Aristotel i možete ga vidjeti ovdje.Za lakše shvaćanje razmotrimo ovaj slučaj.Ako je zaključak da Ahil neće nikad stići kornjaču točan,onda on vrijedi u svakom vremenskom periodu.Povećajmo sad taj period sa 0,1098  na samo 0,11 sekundi i recimo da promatramo točku Kx koju posle možete nacrtati sami.Kornjača će za to vrijeme preći 0,11*0,1=0,011 m ,odnosno ukupno 91 metar, a Ahil će preći 9,1*0,11=1,001m, odnosno ukupno 91,99m.Dakle vrijeme smo produžili za 0,1% a Ahil je već prešao kornjaču za oko metar jer smo preskočili točku konvergencije.

 

 

Objavljeno u srednji | 1 Komentar

m.2A – punjenje bazena

Jedna cijev napuni bazen za 3 sata,druga za 4 a treća za 6.Koliko vremena treba za napuniti bazen ako ga sve tri cijevi pune istovremeno?

Dakle zanima nas vrijeme a ono će biti izraženo u satima.Ajmo vidjeti što će se dogoditi za jedan sat ako bazen pune sve tri cijevi.Prva će očito napuniti jednu trećinu bazena,druga četvrtinu a treća šestinu.Da bi znali koliko je to ukupno proširit ćemo razlomke kako bi ih sveli na zajednički nazivnik.Ako pogledamo najveći 6 on nije djeljiv sa 4 pa ćemo uzeti 12 koji je djeljiv sa svima i onda imamo:1/3 *4/4=4/12, 1/4*3/3=3/12, 1/6*2/2=2/12.Kada to zbrojimo dobijemo: 4/12 +3/12 +2/12 = 9/12 ili /3 =3/4.Sada znamo da će nakon sat vremena biti napunjene 3/4 bazena,a nama treba vrijeme za 4/4.Pitanje koje može zbuniti je dali nedostaje trećina ili četvrtina.Odgovor je da nedostaje četvrtina bazena ali trećina sata.To je zato jer su cijevi za prvu trećinu sata ili 20 minuta napunile 1/4 bazena,za 40 minuta 2/4 i za 60 minuta 3/4,pa će za sljedećih 20 minuta napuniti 4/4 bazena.Dakle ukupno vrijeme je 80 minuta ili 4/3 sata.Naravno to se moglo vidjeti odmah kad smo dobili rezultat 3/4 bazena za jedan sat ili 3/3 vremena, pa nam za 4/4 bazena treba množenje sa 4/3 vremena, jer je 3/4*4/3=12/12 bazena, što je već izračunatih sat i 20 minuta.

Za riješiti zadatak je potrebno razumjeti razlomke,njihovo zbrajanje i množenje i naravno znati računati vrijeme na satu.

Objavljeno u lakši | Ostavi komentar

m.1A – gaussova dosjetka

Počnimo sa nečim laganim za što je većina sigurno čula.Veliki matematičar Karl Friedricg Gauss je također nekad bio dijete i išao u školu.Ali izgleda da mu je na satu matematike bilo dosadno pa mu učitelj dao zadatak da zbroji sve brojeve od jedan do sto, računajuči da će se neko vrijeme s time zabaviti. Jadni učitelj nije imao sreće jer mu je mali već nakon nekoliko trenutaka rekao točan rezultat.Ukoliko ni vi niste bili takvi genijalci da vidimo kako je on to izračunao:

Ako zbrojimo prvi i zadnji broj tog niza,odnosno 1+100 dobijemo 101,zbroj drugog i predzanjeg člana,ili 2+99 također daje 101 a posljednji par bi bio 50+51.Odmah se vidi da takvih parova ima 50,dakle rezultat se dobije kada pomnožimo 50*101.A imate li sa ovim problema?Onda možete pomnožiti 100*50 i tome pribrojiti 1*50 pa dobijete 5050.     Dakle za ovaj zadatak je trebalo znati zbrajati prirodne brojeve,tablicu množenja do 100, što je u stvari skraćeno zbrajanje,pravilo komutativnosti odnosno da je 50*100=100*50,pravilo množenja sa višekratnikom broja 10 koje kaže da broju treba dodati onoliko nula koliko ima broj s kojim ga množimo i možda malo pameti od Gaussa. On je ovdje iskoristio svojstvo skupa prirodnih brojeva da je svaki broj od prethodnog veći za isti iznos,odnosno za 1,pa se taj niz jednako povećava ili smanjuje ovisno s koje strane gledamo.Sada se još samo trebalo dosjetiti zbrojiti početak i kraj da dobijemo uvijek isti broj ili konstantu i onda smo nadomak rješenja.

Naravno ovaj zadatak se može riješiti i na druge poznate načine,ili one koje možete sami predložiti,a što se ovog tiče mislim da nije potrebno postavljati pitanje koje će se povremeno pojavljivati ispod zadataka a glasi:

Ima li netko da ovo nije shvatio?

Objavljeno u lakši | Ostavi komentar

Nema problema

Kako sada stvari stoje izgleda da nikome besplatni zadaci nisu interesantni.Slabo smo raspoloženi za razmišljanje što ima za posljedicu lošu pripremu mladih za životne probleme.Naravno za to je zaslužan i postojeći obrazovni sustav.A reforma koja je išla u smjeru drugačijeg pristupa učenju je zapela.Danas većinu podataka imate odmah na Google –u pa bi mozak trebalo koristiti za neke konstruktivnije procese.Pogotovo u narednim vremenima kada će biti sve manje posla u jednostavnim zanimanjima.Kreativnost će postat najbitnija i nužna za osiguravanje egzistencije u velikoj svjetskoj konkurenciji.A pošto će se pametniji snaći i bez rješavanja ovakvih zadataka,onda ću se više orijentirat na većinu, pružajući im šansu da nešto zarade. U ovoj objavi nema nijednog zadatka za mozganje, a na ostalim stranicama nema komentara, pa ću je iskoristit za komentare zadataka za zaradu.

Objavljeno u Nekategorizirano | 3 Komentara